Рефераты. Реферат: Элементарные функции
Реферат: Элементарные функции

Реферат: Элементарные функции

Реферат: Элементарные функции

Реферат

на тему:

“Элементарные Функции”



Харцызск

2001 год





Функция, и её свойства:

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению
х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у, соответствующее заданному

значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая
переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые
принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной - если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)
Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

Способы задания функции:

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для
каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью
формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком
случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана
аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При
этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для
имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания
функции являются таблица квадратов, таблица кубов.



Элементарные функций и их свойства:

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где
b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая,
параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат





2) Прямая пропорциональность - функция, заданная формулой у=kx, где
к(0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

Область определения функции - множество всех действительных чисел

y=kx - нечетная функция

При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3) Линейная функция - функция, которая задана формулой y=kx+b, где k
и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную
функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

Область определения - множество всех действительных чисел

Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая .

4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где
k(0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

Область определения - множество всех действительных чисел кроме нуля

y=k/x- нечетная функция

Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+() и на промежутке
(-(;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-(;0) и на
промежутке (0;+().

Графиком функции является гипербола.

5) Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

Область определения - вся числовая прямая

y=x2 - четная функция

На промежутке [0;+() функция возрастает

На промежутке (-(;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6) Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

Область определения - вся числовая прямая

y=x3 -нечетная функция

Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7) Степенная функция с натуральным показателем - функция, заданная
формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x,
ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их
свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом
случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.
График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1
тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются»
к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом
случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3.
График функции напоминает кубическую параболу.

8) Степенная функция с целым отрицательным показателем - функция,
заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем
y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае
функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция
y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

Функция определена при всех x(0

y=x-2 - четная функция

Функция убывает на (0;+() и возрастает на (-(;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9) Функция y=(х

Свойства функции y=(х:

Область определения - луч [0;+().

Функция y=(х - общего вида

Функция возрастает на луче [0;+().

10) Функция y=3(х

Свойства функции y=3(х:

Область определения - вся числовая прямая

Функция y=3(х нечетна.

Функция возрастает на всей числовой прямой.



11) Функция y=n(х

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=(х.
При нечетном n функция y=n(х обладает теми же свойствами, что и функция
y=3(х.

12) Степенная функция с положительным дробным показателем - функция,
заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=xr:

Область определения- луч [0;+().

Функция общего вида

Функция возрастает на [0;+().

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем -
функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая
дробь.

Свойства функции y=x-r:

Обл. определения - промежуток (0;+()

Функция общего вида

Функция убывает на (0;+()

14) Квадратичная функция - функция, заданная формулой y=ax 2 + bx +
c

где a ( 0 , a, b, c – некоторые числа, x – переменная.

Свойства функции
y=ax 2 + bx + c:

D(y) = R.

Если b ( 0, c ( 0, то функция y=ax 2 + bx + c ни четная, ни нечетная.

Точки пересечения с осями координат:

с осью Ox: если y = 0, то ax 2 + bx + c = 0, откуда x1 и x2 – корни
квадратного уравнения.

с осью Oy: если x = 0, то y = c

Функция убывает на (-(;xb], возрастает на [xb;+() если ax 2 + bx + c >
0

Функция убывает на [xb;+(), возрастает на (-(;xb] если ax 2 + bx + c > 0


5. Наибольшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a < 0 достигается в
вершине

и равно yb , наименьшего нет.

6. Наименьшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a > 0 достигается в
вершине

и равно yb , наибольшего нет.

7. Графиком функции является парабола.

15) Свойства функции у = sinx и ее график:

Свойства:

1. D(y)=R.

2. Е(у)=[-1;1].

3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса
тригонометрического угла sin(-x) = - y/R = -sinx, где R - радиус
окружности, у - ордината точки (рис).

4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,

sin(x+() = sinx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: sinx = 0; х = (n, n(Z;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,

6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0, если x((2(n; ( + 2(n), n(Z;

sinx < 0, если х(( ( + 2(n; 2(+(n), n(Z.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-(/2 + 2(n; (/2 + 2(n],

n(z и убывает на каждом из промежутков [(/2 + 2(n; 3(/2 + 2(n], n(z .

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

xmax = (/2 + 2(n, n(z; ymax = 1;

ymax = -(/2 + 2(n, n(z; ymin = -1.



9. Графиком является синусоида (рис)

16) Свойства функции у = cosx и ее график:

Свойства:

1. D(y) = R.

2. Е(у)=[-1;1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса
тригонометрического угла cos(-a) = x/R = cosa на тригонометрическом
круге (рис)

4.Т = 2( - наименьший положительный период. Действительно,

cos(x+2(n) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = (/2 + (n, n(Z;

с осью Оу: если х = 0,

то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0, если х((-(/2+2(n; (/2 + 2(n), n(Z;

cosx < 0, если х(((/2 + 2(n; 3(/2 + 2(n), n(Z.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис).

Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов ( первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов ( второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [-( + 2(n; 2(n],

n(z и убывает на каждом из промежутков [2(n; ( + 2(n], n(z .

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

xmax = 2(n, n(z; ymax = 1;

ymax = ( + 2(n, n(z; ymin = -1.

9. Графиком функции является синусоида, которая полученна сдвигом
гра-фика y = sinx вдоль оси Ox на (/2 влево т.к y = cosx = sinx(x + (/2)
(рис).

17) Свойства функции у = tgx и ее график:

Свойства:

1. D(y) = (x(R, x ( (/2 + (n, n(Z).

2. E(y)=R.

3. Функция y = tgx - нечетная

4. Т = ( - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

tgx > 0 при х(((n; (/2 + (n;), n(Z;

tgx < 0 при x((-(/2 + (n; (n), n(Z.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонноти:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков (-(/2 + (n; (/2 + (n),

n(z .

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

нет.

8. x = (/2 + (n, n(z – вертикальные асимптоты

9. Графиком y = tgx является тангенсоида (рис).

17) Свойства функции у = ctgx и ее график:

Свойства:

1. D(y) = (x(R, x ( (n, n(Z)

2. E(y)=R.

3. Функция y = ctgx – нечетная.

4. Т = ( - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

ctgx > 0 при х(((n; (/2 + (n;), n(Z;

ctgx < 0 при х((-(/2 + (n; (n), n(Z. Знаки котангенса по четвертям
смотри на рисунке.

6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков ((n; ( + (n),
n(Z.

7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.

8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная
сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на (/2 и умножением на (-1)
(рис)

Литераура:

“Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.

(стр. 122 – 25, 288)

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 30 - 34)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 20 - 27)

Рефераты. Реферат: Элементарные функции
Рекомендуем


Рефераты. Реферат: Элементарные функции