Доклад: Теория отображений

Доклад: Теория отображений

Теория отображений

Отобразить верхнюю половину плоскости с разрезами по отрезкам
на верхнюю полуплоскость.

Решение:

Отображение

отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:

Рассмотрим отображение
из полосы
полуплоскости сразрезами в полуплоскость без разрезов.
(*) совершенно очевидно ,что в нашем случае
. То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость без действительной оси. Рассмотрим образ луча
.

Подставляя в формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий на действительной оси
. В результате мы получили, что образом полосы
(1) является
.

Если на полосу
плоскости без разреза подействовать отображением sin(Z) то в образе получим такое множество
(2). Применив отображение
к полосе(1) с разрезом в образе получим множество (2).

Поэтому функция
отображает полосу
с разрезом в полосу
без разреза.

Продолжим эту функцию на всю полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию
заданную в полосе
с разрезом.

Функция
отображает эту полосу на полосу
без разреза.

И тогда отображение
отображает полосу
без разреза.

Проверим является ли функция
аналитическим продолжением функции
. Для этого применим теорему:

Теорема.

Пусть функция
аналитична в области
и функция
аналитична в области
. И области
и
имеют общий фрагмент граници
. Если функции на
совпадают то функция
является аналитическим продолжением функции
в область
.

Естественно функции
и
совпадают на луче
.

Поэтому функция
является аналитическом продолжением функции
на полосу
.

Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю верхнюю полуплоскость с вырезами. И в результате получим функцию:

отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость без вырезов.