Доклад: Двойной интеграл в полярных координатах
Доклад: Двойной интеграл в полярных координатах
Двойной интеграл в полярных координатах
(1)
Пусть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным
координатам r и f, полагая
x = r cos j
,y = r sin j
.(2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D
Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j
= j
i (лучи)
Введем обозначения:
D
rj = rj+1 - rj,
D
j
i = j
i+1 - j
i Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D
Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjD
j
i и D
rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
D
Si = rj D
j
i D
rj(3)
Что касается ячеек D
Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $
Sij для простоты выберем вершину ячейки D
Sij с полярными координатами rj и j
i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos j
i,yij = rj sin j
i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos j
i, rj sin j
i)(3') Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому
учитывая формулы (3) и (3'), получаем: (4)
где d - максимальный диаметр ячеек D Sij и сумма
распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области
S. С другой стороны, величины j i и rj суть
числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых
точек плоскости Oj r. Таким образом, сумма (4)
является интегральной суммой для функции
f(r cosj , r sinj
)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D
j i и D ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj
dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы
в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты
x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение
(7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область
интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j ), r1(j
) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a
,b ].
Имеем
(8)
Где
F(r,j
) = rf(r cosj
, r sinj
)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить
двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6), получим
Область S определена неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1
В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j
=0, j
=p
/4, r cosj
=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами
Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем
|